δ(x-x')=2π^-1∫-∞\/∞e^iw(x-x')dw=2π^-1∫-∞\/∞1*e^iw(x-x')dw

卷积和内积

在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。

例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。

使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波

对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能(反卷积是图像处理中的一个老话题)，在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。

虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。

方程14:

是的，内积（Innerproduct）是三维空间中常规向量点积（dotproduct）的一种概括。在数学中，内积是一个定义在向量空间上的函数，它赋予两个向量一个标量值，并且满足一定的性质。在三维欧几里得空间中，内积通常指的是点积，但在更一般的向量空间中，内积的概念被扩展以适应不同的几何和代数结构。

三维空间中的点积定义如下：给定两个向量a=[a1,a2,a3]和b=[b1,b2,b3]，它们的点积（记作a·b）定义为：

a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3

点积有以下性质：

交换律：a·b=b·a

分配律：a·(b+c)=a·b+a·c

结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k是标量

正定性：a·a≥0，且a·a=0当且仅当a=0

在更一般的向量空间中，内积的定义需要满足以下公理：

对称性：?a,b?=?b,a?

线性性：?ka,b?=k?a,b?和?a+b,c?=?a,c?+?b,c?

正定性：?a,a?≥0，且?a,a?=0当且仅当a=0

在不同的向量空间中，内积的具体表达式可能会有所不同，但它总是保留了这些基本的代数和几何性质。例如，在复数向量空间中，内积可能包含共轭操作；在无穷维函数空间中，内积可能是两个函数的积分乘积。

总之，内积是点积的概括，它不仅适用于三维欧几里得空间，还适用于更广泛的数学和物理问题中。内积的概念在泛函分析、量子力学、信号处理等领域都有重要应用。

在向量空间中，向量的模（或长度、范数）是指向量的大小或绝对值。对于具有内积的向量空间，模可以通过内积来定义。在三维欧几里得空间中，向量的模通常是指向量的长度，可以通过点积来计算。

对于一个三维向量v=[v1,v2,v3]，其模（记作||v||）可以通过以下公式计算：

||v||=√(v12+v22+v32)

这个公式实际上是利用了点积的性质，特别是向量与其自身的点积等于其模的平方：

v·v=v12+v22+v32=||v||2

因此，我们可以通过取平方根来得到模。

在更一般的内积空间中，向量的模可以通过内积来定义。给定向量v，其模定义为：

||v||=√?v,v?

这里，?v,v?表示向量v与其自身的内积。这个定义保证了模是非负的实数，并且当且仅当向量为零向量时，模等于零。

模的概念在数学和物理学中非常重要，因为它与向量的几何属性密切相关，比如距离、大小和方向。在物理学中，向量的模经常用来表示物理量的大小，例如力的大小、速度的大小等。在数学中，模的概念也被推广到了更一般的抽象空间，如赋范空间和巴拿赫空间，成为分析和几何中的基本概念之一。

?在普通的（3d）空间中，向量只是箭头。它们指向一个方向并具有长度，我们称之为大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。

内积只是一个规则，或一个映射，用来将两个向量映射到一个数字。通过方程14，规则是取每个方向（x，y，z）的分量，将这些分量相乘并求和。

现在将其与方程12中卷积的定义比较，我们可以看到卷积所做的事情相同，只是使用的是函数：我们在每个点乘以两个函数并求和。更一般地，我们定义函数f和h之间的内积：

方程15:

在函数空间中，两个函数f(x)和h(x)之间的内积通常定义为一个积分，这个积分依赖于具体的内积空间和所考虑的函数类型。在许多情况下，特别是在实数域上的函数空间，内积可以定义为两个函数的乘积在某个区间上的积分，再加上可能的权重函数。

一个典型的例子是在实数域上的L2空间，其中函数f(x)和h(x)的内积定义为：

?f,h?=∫[a,b]f(x)*h(x)dx

这里，a和b是积分的上下限，dx表示对x的微分，积分区间[a,b]是定义内积的区间。这个内积满足内积空间的公理，包括对称性、线性性和正定性。

如果考虑的是带有权重w(x)的函数空间，那么内积的定义会包含这个权重函数：

?f,h?=∫[a,b]f(x)*h(x)*w(x)dx

权重函数w(x)可以是任何非负的可积函数，它在积分中起到调整不同部分重要性的作用。例如，在概率论中，权重函数可能代表概率密度函数，而在其他应用中，它可能有不同的解释。

需要注意的是，内积的定义不是唯一的，它可以依赖于特定的应用和所考虑的函数空间。在某些情况下，内积可能还包括复共轭，尤其是在处理复数域上的函数空间时。例如，在复数域上的L2空间，内积定义为：

?f,h?=∫[a,b]f(x)*j(h(x))dx

这里，j(h(x))表示h(x)的复共轭。

总结来说，函数f和h之间的内积通常通过积分来定义，具体形式取决于所考虑的函数空间和应用背景。在实数或复数域上，内积可能包括函数乘积的积分，有时还会加上权重函数或复共轭。若是区间在[-∞,∞]之间，则

卷积实际上只是函数向量空间中的内积，其中一个函数按我们选择的量进行了移位。或者你可以这样说，卷积代表了与一些函数集相关的一组内积，这些函数通过移位函数参数联系起来。

现在在普通的3d空间中，我们可以将任何向量表示为三个单位向量（每个方向长度为1的向量）的和，其中每个方向是一个维度。我们说这些向量跨越了整个向量空间，这意味着我们可以写出任何向量：

方程16:

V=Vx*x+Vy*Y+Vz*Z

x帽是x方向的单位向量。其他方向也是如此。

我们可以将分量v_x,v_y,v_z定义为与单位向量进行点积的结果：

＜x*V＞=x*V=Vx

那么函数的“分量”的等价物是什么呢？查看方程15中内积的定义，这个分量就是f(x)或者函数在x点的值。

这就是函数向量空间和普通三维空间的巨大区别。如果我们考虑的是为所有实数x定义的函数，这意味着向量或函数，有无穷多个分量。换句话说，函数向量空间有无限维。

这确实引入了一些复杂性（例如，随着x-＞无限大，内积15可能会增长到无限大），我们现在将忽略这些细节，假设函数都表现良好。

有了这种对f(x)的理解，让我们重新写筛选性质

方程17:

f(x)=∫f(x)δ(x-x')dx'=∫δ(x-x')f(x)dx'

认识到积分是内积，这与下式相同

方程18:

f(x)=＜δx，f＞

其中我使用δ_x作为位置x的delta函数的简写。

由于f(x)类似于在位置x的f的“分量”，与位于x处的delta函数取内积类似于与单位向量取点积。或者换句话说，delta函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置x处的值或分量，就像3d空间中的普通点积一样。

所以让我们回顾一下。我们介绍了关于delta函数的两种思考方式：

?它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以1的角色。换句话说，delta函数有点像1。

?在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”的角色。将“点积”与δ(x-x')相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f(x)。

最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。就比如狭义相对论中的洛伦兹变换？

对于实变量上的函数：

方程19:＜f,h＞=∫±∞f(x)h(x)dx

这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。

回到格林函数

思考格林函数的一个提示

有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程6）。

L?G(x,x')=δ(x-x')

或者如果算子是自伴随的：

LG(x,x')=δ(x-x')

如果δ函数类似于1或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子L的逆。

为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，

Lu(x)=f(x)

如果格林函数类似于L的逆，如果乘以G，即与格林函数取内积，则可以“撤销”L的作用并求解u。

方程20:

＜G,Lu＞=＜G,f＞

根据伴随的定义（方程7），我们可以将L作用于u替换为L的伴随作用于G。根据格林函数的定义，这与δ函数相同。

方程21:

＜G,Lu＞=＜L?G,u＞=(δx,u)=U(x)

对于右手边：

方程22:U(x)=＜G,f＞=∫G(x,x')f(x)'dx

就是这样。如果格林函数G，我们通过与源函数f取积分来求解u，类似于用L的逆乘以f。

方程23:

G∽L^-1

需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。L甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。这更多是一种关于G的“操作性”思考方式。

你应该开始看到格林函数的威力了。如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”算子L。

关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和x'G(x,x')格林函数似乎是一种将x'处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。

看看方程22的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。如果G(x,x′)=G(x–x′)，它将是精确的。事实证明，如果线性算子L具有平移对称性，通常会出现这种情况。例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。在这些情况下，确实有一个完全的卷积。

方程24:

U(x)=∫G(x-x')f(x')dx=G*f

引入物理

旧电压表

我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。但我们如何从物理上理解格林函数呢?

说明这一点的最简单方式是用一个例子。让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程3）。回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度p(r)表示。

泊松方程:

-▽^2V(r)=e0^-1p(r)

其中?0是一个常数，称为自由空间的电容率。

这是一个“静电”问题。我们假设电荷不动。没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。

虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。它的密度是

方程25电子的电荷密度:

p(r)=-eδ(r)

相比之下，质子是一个复合粒子。我们可以使用量子力学为其指定一个有效的“大小”，但几乎在所有实际应用中，它同样只是一个带有正电荷+e的点，具有相同的δ函数电荷密度。

同样的考虑可以应用于大多数实际尺度的整个原子，例如，耳机或麦克风中的钕离子具有近似的电荷密度：

钕离子（Nd+3）的电荷密度。

p(r)=+3eδ(r)

因为钕喜欢失去3个电子。

这告诉我们的是，泊松方程的格林函数是点电荷的电势，模取常数。

由于任意电荷分布按定义是点电荷的总和，且因为泊松方程是线性的，因此电势是具有权重因子p(r)的格林函数的总和。

这就是我们对函数的数学理解作为一种“单位向量”的由来。一般来说，求解格林函数类似于将源f(x)分解成一堆点源，求解任意位置的源，然后求和。

那么解呢？实际上有一个巧妙的方法可以使用傅里叶变换求解泊松方程的格林函数，但这篇文章已经太长了，所以我只引用答案。

对于格林函数我们有：

方程26：泊松方程的格林函数

G(r,r')=｛4π^-1｝*｛?r-r'?^-1｝

给定p(r)的完整解为：

方程27:

V(r)=｛4πe0^-1｝∫｛p(r')｝*｛?r-r'?^-1｝dx

总结

回顾一下，这篇关于格林函数的文章的两个主要信息。

1.从数学上讲，格林函数像对应线性算子的逆一样，因为通过与Lu取内积，我们求解了u

2.在物理上，我们可以把格林函数解释为一个点源的解，我们可以把它们加起来形成任意源的解。我们通过分析泊松方程的格林函数来说明这一点，但它也适用于光学中的亥姆霍兹方程，其中格林函数是光的点发射器的电场。

唯一我必须提到的细节是边界条件，我根本没有讨论过。以上都是关于无限空间中的格林函数，即边界在无限远处，我们所有的解都是零。当然，我们可以有特定的边界条件，这些条件将改变格林函数。

小学没毕业，学习好费脑，为了体验一下那些所谓的学霸君的乐趣，我宁愿杀鸡宰羊。